Karanténmatek: Hány gurigából tudnánk vécépapírhidat építeni a Holdig?

Mai otthoni feladatunk a következő. Vegyünk valami olyan dolgot, ami van otthon:

Egy vécépapír lapjainak oldalai 9 és 11 centiméteresek. Az egész guriga átmérője 11 centiméter.

1. feladat. Hány guriga vécépapír fér el egy 2-szer 1 méteres alapterületű, két méter magas, töküres spájzban? (Az egyszerűség kedvéért katonás fegyelemben állnak a vécépapírjaink, mint az óriásicsomagolásban, ahogy vettük őket, és alig fértek el a csomagtartóban. Vagyis nem csúszkál át az egyik guriga két másik guriga közé. A haladók megcsinálhatják négyszögrács helyett hatszögráccsal is.) A spájz ajtajával ne bajlódjunk, az a könnyebb pakolhatóság érdekében kifelé nyílik. 

2. feladat. Mi lenne, ha a vécépapír nem egy gurigára lenne feltekerve, hanem laponként úgy lenne csomagolva, mint a szalvéták? Több elférne? 

Hogy neked ne kelljen, én már lapokra szedtem egy gurigát, nem hazudtak a csomagoláson, ebben tényleg 140 darab lap volt. 

Ezeket lazán egymásra téve nagyjából olyan magas lett a papírhalom, mint a lecsupaszított guriga.

Sokat egymásra pakolva azért már rendesen összemegy a papírtorony. Ezt lemodellezve egy háztartási alapfelszerelésével a lapokra szedett guriga magassága már rögtön csak öt centiméter volt. Számoljunk az ötcentis magassággal!

3. feladat az ötösért. Mennyi helyet pazarolunk el a tekercs közepén lévő üres hengerekkel, ha ezek átmérője 4 centiméter? 

Szorgalmi. A Föld és a Hold távolsága 384 400 km. Van-e otthon elég vécépapírunk, hogy azokat kigörgetve elérjen a Holdig?

A megoldásokért görgess lejjebb!











1. feladat, megoldással

Hány guriga vécépapír fér el egy 2-szer 1 méteres alapterületű, két méter magas, töküres spájzban, ha szabályos sorokba és oszlopokba rendezzük őket? 

Az alapadatok: a spájz alapterülete 200⋅100 centi, a magassága 200 centi. Egy vécépapír-guriga átmérője 11 centi, a magassága 9 centi. A lehető legegyszerűbb módon, négyszögrácsba rendezett gurigákkal.

A spájz padlóján szépen sorban 18⋅9 guriga fér el. Miután a házi raktárunk magassága 2 méter, 22 sort tudunk felpolcolni az időben beszerzett, nagy mennyiségű higiéniai papírtermékből. Vagyis összesen 18⋅9⋅22, azaz 3564 guriga vécépapírt tudunk elhelyezni a helyiségben. (Még marad is hely a fal és a vécépapírtorony között, jól porciózott liszt, rizs elfér még ott.)

2. feladat, megoldással

Mi lenne, ha a vécépapír nem egy gurigára lenne feltekerve, hanem laponként úgy lenne csomagolva, mint a szalvéták? Több elférne?

Ha csak egyetlen gurigát nézünk, akkor a körlap nyer. A guriga átmérője 11 centi, vagyis a sugara 5,5 centi. A körlap területe r2⋅π. A lap oldalai: 9 centi és 11 centi, a téglalap területe a⋅b. 

Ha a lehető legegyszerűbb négyszögrácsba rendezzük a gurigákat, akkor viszont a téglatestből 198 fér el a spájz padlóján, a körlapból csak 162. Ráadásul a guriga 9 centi magas, így abból csak 22 fér el egymásra rakva. A szépen összenyomott lapokból viszont passzentosan akár 40 sor is. Ami azt jelenti, hogy amíg hagyományos gurigából 3564 fér el a spájzunkban, addig a lapokra szaggatott megoldás jóval takarékosabb, kitölti a körök melletti helyeket is, így akár 7920 darab felaprózott tekercset is be tudunk raktározni. Ok, kell hozzá némi idő, amíg végez az ember, de abból most van bőven. (Igen, lehet kísérletezni azzal, hogyan rendezzük el a gurigákat egymáson, nemes feladat, különösen mert a Qubit-feladványok mestere, Merse szerint próbálgatással, numerikusan lehet egyre jobb megoldásokat találni.)

3. feladat, megoldással

Mennyi helyet pazarolunk el a tekercs közepén lévő üres hengerekkel, ha ezek átmérője 4 centiméter? 

Azt már kiszámoltuk, hogy nem nagyon variálva, négyszögrácsban 3564 gurigát tudunk őrizni lényegében a világ végéig a spájzban. Egy gurigában az üres henger térfogata: r2⋅π.⋅magasság. Vagyis 4 centi⋅3,14⋅9 centi=113,04 köbcenti. Az 3564 gurigával számolva már 402 874 köbcenti. Az egész spájz 4 000 000 köbcenti, ennek a tizedét elveszi a luk a guriga közepén. Oda még bőven férne vécépapír. (Plusz pont jár, ha kiszámold, mennyi.)

Szorgalmi, megoldással.

A Föld és a Hold távolsága 384 400 km. Van-e otthon elég vécépapírunk, hogy azokat kigörgetve elérjen a Holdig?

Ha egy vécépapír lapjának hosszabb oldala 11 centi, és abból 140 darab van, akkor kigurítva 1540 centi egy tekercs. A Föld-Hold távolság 38 milliárd 440 milló centi. Ami azt jelenti, hogy 24 millió 961 ezer 039 darab guriga kellene, hogy vécépapírhidat építsünk ki a Holdig. Annyi nincs a spájzban, ráadásul fel is szeleteltük, hogy jobban elférjenek. 

Ha van ötleted karanténfeladványokra, lehet az matek, fizika, ének, tesi, töri, magyar, bármi, küldd el a megirom@444.hu-ra.

(Köszönöm Orsolyának és Zsófinak, hogy matektanárként átnézték a cikket megjelenés előtt, természetesen az egyik feladatot elsőre elrontottam.)

Uralkodj magadon!
Új kommentelési szabályok érvényesek 2019. december 2-től. Itt olvashatod el, hogy mik azok, és itt azt, hogy miért vezettük be őket.